Sinus, Kosinus und Tangens

Ein Drachen hängt an einer 50 Meter langen Schnur. Die Schnur bildet mit dem Boden einen Winkel von 35 Grad. Wie hoch fliegt der Drachen?

In diesem Video lernst du Sinus, Kosinus und Tangens. Damit berechnest du Seiten im rechtwinkligen Dreieck, wenn du einen Winkel kennst.

Wir schauen auf ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel Alpha. Die längste Seite liegt gegenüber dem rechten Winkel, das ist die Hypotenuse.

Die Kathete, die dem Winkel Alpha gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

Die Kathete, die am Winkel Alpha anliegt, heißt Ankathete.

Wichtig: Diese Namen hängen vom Winkel ab. Schaust du vom anderen spitzen Winkel aus, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen.

Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel Alpha sind ähnlich. Deshalb sind ihre Seitenverhältnisse immer gleich, egal wie groß das Dreieck ist.

Der Sinus von Alpha ist Gegenkathete durch Hypotenuse.

Der Kosinus von Alpha ist Ankathete durch Hypotenuse.

Der Tangens von Alpha ist Gegenkathete durch Ankathete. Hier kommt die Hypotenuse also gar nicht vor.

Zurück zum Drachen. Die Schnur ist die Hypotenuse, sie ist 50 Meter lang. Gesucht ist die Höhe, also die Gegenkathete zum Winkel von 35 Grad.

Gegenkathete und Hypotenuse kommen im Sinus vor. Also nehmen wir den Sinus.

Wir multiplizieren beide Seiten mit 50 Metern. Dann steht h allein.

Stelle den Taschenrechner auf Grad, also auf DEG. Fünfzig mal Sinus von 35 Grad ergibt gerundet 28,7. Der Drachen fliegt also etwa 28,7 Meter hoch.

Und wie weit ist der Drachen waagerecht von dir entfernt? Diese Strecke d ist die Ankathete. Also brauchen wir den Kosinus.

Umgestellt ist d gleich 50 Meter mal Kosinus von 35 Grad. Der Kosinus von 35 Grad ist ungefähr 0,8192.

Das ergibt gerundet 41,0 Meter.

Zur Kontrolle der Tangens: Gegenkathete durch Ankathete, also 28,68 durch 40,96. Das ergibt ungefähr 0,70.

Und das ist genau der Tangens von 35 Grad. Unsere Ergebnisse passen also zusammen.

Manchmal steht die gesuchte Seite im Nenner. Eine Rampe soll einen Meter hoch führen und mit dem Boden einen Winkel von sechs Grad bilden. Wie lang wird sie?

Die Höhe ist die Gegenkathete, die Rampe die Hypotenuse. Also wieder der Sinus.

Wir multiplizieren mit L und teilen dann durch den Sinus von sechs Grad.

Der Sinus von sechs Grad ist ungefähr 0,1045. Die Rampe muss also rund 9,57 Meter lang sein.

Fassen wir zusammen.

Gegenkathete und Ankathete benennst du immer vom gegebenen Winkel aus.

Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, der Kosinus Ankathete durch Hypotenuse.

Der Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete. Rechne im Grad-Modus und runde erst am Ende.

Jetzt bist du dran!