Arithmetische und geometrische Folgen

Wie geht diese Zahlenfolge weiter: zwei, fünf, acht, elf?

In diesem Video lernst du arithmetische und geometrische Folgen kennen, rekursiv und explizit.

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen.

Jedes Glied hat eine Nummer n. a eins ist das erste Glied, hier zwei.

a vier ist das vierte Glied, also elf.

Von Glied zu Glied kommt immer drei dazu. Die Differenz d ist konstant.

Die Folge heißt arithmetisch. Rekursiv, also aus dem Glied davor: a n plus eins ist a n plus drei.

Explizit geht es direkt: a n ist zwei plus n minus eins mal drei.

So bekommst du a zehn sofort: zwei plus neun mal drei, also neunundzwanzig.

Allgemein gilt: a n ist a eins plus n minus eins mal d.

Jetzt die Folge zwei, vier, acht, sechzehn. Hier wird immer mit zwei multipliziert.

Der Quotient q zweier Nachbarglieder ist konstant. So eine Folge heißt geometrisch.

Rekursiv: a n plus eins ist a n mal zwei.

Explizit: a n ist zwei mal zwei hoch n minus eins.

Für a zehn rechnest du zwei mal zwei hoch neun. Das ist tausendvierundzwanzig.

Allgemein gilt: a n ist a eins mal q hoch n minus eins.

Teste dich: Drei, sieben, elf, fünfzehn. Immer plus vier, also arithmetisch.

Drei, sechs, zwölf, vierundzwanzig. Immer mal zwei, also geometrisch.

Eins, vier, neun, sechzehn hat weder gleiche Differenzen noch gleiche Quotienten.

Fassen wir zusammen.

Bei arithmetischen Folgen kommt immer dasselbe d dazu.

Explizit: a n ist a eins plus n minus eins mal d.

Bei geometrischen Folgen wird immer mit demselben q multipliziert.

Explizit: a n ist a eins mal q hoch n minus eins.

Rekursiv berechnest du jedes Glied aus seinem Vorgänger.

Super! Jetzt bist du dran.