Die Ableitung als Steigung
Klasse 10–11 · Mathematik · 2:42 Min.
Das Wichtigste
- Die Sekante ist die Gerade durch zwei Punkte P und Q.
- Ihre Steigung ist der Differenzenquotient, die mittlere Steigung.
- Rückt Q bis an P, wird die Sekante zur Tangente.
- Die Steigung der Tangente ist die Ableitung, f Strich von x.
- Bei f von x gleich x Quadrat ist die Ableitung zwei x.
Alles zum Nachlesen
Wie steil ist eine gekrümmte Kurve genau an einer Stelle?
In diesem Video lernst du, wie die Ableitung diese Steigung angibt.
Bei einer Geraden ist die Steigung an jeder Stelle gleich.
Die Normalparabel f von x gleich x Quadrat wird dagegen nach rechts immer steiler.
Wie steil ist sie genau im Punkt P bei x gleich eins?
Wir nehmen einen zweiten Punkt Q bei x gleich zwei.
Die Gerade durch P und Q heißt Sekante.
Ihre Steigung: Höhenunterschied geteilt durch x-Unterschied, also vier minus eins durch zwei minus eins.
Die Sekante hat also die Steigung drei.
Dieser Bruch heißt Differenzenquotient. Er ist die mittlere Steigung zwischen P und Q.
Jetzt schieben wir Q näher an P. Die Sekante wird flacher.
Bei x gleich eins Komma eins ist die Steigung nur noch zwei Komma eins.
Liegt Q fast auf P, berührt die Gerade die Kurve nur in P: die Tangente.
Ihre Steigung ist genau zwei. So steil ist die Kurve in P.
Diese Steigung heißt Ableitung, geschrieben f Strich von x.
Für f von x gleich x Quadrat gilt: f Strich von x ist zwei x.
An der Stelle eins also zwei mal eins, gleich zwei. Das passt zur Tangente.
An der Stelle zwei ist sie zwei mal zwei, also vier. Dort ist die Parabel doppelt so steil.
Fassen wir zusammen.
Die Sekante ist die Gerade durch zwei Punkte P und Q.
Ihre Steigung ist der Differenzenquotient, die mittlere Steigung.
Rückt Q bis an P, wird die Sekante zur Tangente.
Die Steigung der Tangente ist die Ableitung, f Strich von x.
Bei f von x gleich x Quadrat ist die Ableitung zwei x.
Super! Jetzt bist du dran.
