Exponentielles Wachstum und Logarithmus

Was wächst schneller: jeden Tag zwei dazu oder jeden Tag das Doppelte?

In diesem Video lernst du exponentielles Wachstum, den Wachstumsfaktor und den Logarithmus kennen.

Wir starten mit eins. Beim linearen Wachstum kommt jeden Tag gleich viel dazu, hier zwei.

So entsteht eine Gerade: eins, drei, fünf, sieben und so weiter.

Als Funktion: f von x ist eins plus zwei mal x.

Beim exponentiellen Wachstum nehmen wir jeden Tag mit zwei mal.

Eins, zwei, vier, acht, sechzehn, zweiunddreißig, vierundsechzig. Die Kurve schießt nach oben.

Die Funktion heißt f von x gleich eins mal zwei hoch x. Das x steht im Exponenten.

Darum wächst sie immer schneller und überholt jede Gerade.

Allgemein schreibt man: f von x gleich a mal b hoch x.

a ist der Anfangswert, also der Wert am Start.

b ist der Wachstumsfaktor. Mit ihm wird in jedem Schritt malgenommen.

Ist b größer als eins, nimmt der Bestand zu. Liegt b zwischen null und eins, nimmt er ab.

Wächst etwas um fünf Prozent pro Jahr, ist der Faktor eins Komma null fünf.

Jetzt drehen wir die Frage um: Zwei hoch wie viel ist zweiunddreißig?

Im Graphen gehen wir von zweiunddreißig hinüber zur Kurve und hinunter: Wir landen bei fünf.

Das schreibt man als Logarithmus: Der Logarithmus von zweiunddreißig zur Basis zwei ist fünf.

Der Logarithmus fragt also immer nach dem Exponenten.

Ein Beispiel: Tausend Euro werden mit fünf Prozent im Jahr verzinst. Wann hat sich das Geld verdoppelt?

Wir teilen durch tausend: Eins Komma null fünf hoch x ist zwei.

Gesucht ist der Exponent, also nehmen wir den Logarithmus.

Der Taschenrechner liefert ungefähr vierzehn Komma zwei. Nach rund vierzehn Jahren hat sich das Geld verdoppelt.

Fassen wir zusammen.

Beim linearen Wachstum kommt in jedem Schritt gleich viel dazu.

Beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor malgenommen.

Die Formel lautet f von x gleich a mal b hoch x. b ist der Wachstumsfaktor.

Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten.

Super! Jetzt bist du dran.