Reelle Zahlen

Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge eins?

Die Antwort führt dich zu einer neuen Art von Zahlen und zu den reellen Zahlen.

Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. Nach Pythagoras gilt: d Quadrat gleich eins Quadrat plus eins Quadrat.

Das ist zwei.

Also ist d die Wurzel aus zwei.

Mit dem Zirkel überträgst du die Diagonale auf den Zahlenstrahl. Wurzel zwei ist also ein ganz bestimmter Punkt zwischen eins und zwei.

Der Taschenrechner zeigt: eins Komma vier eins vier zwei eins drei fünf sechs, und die Ziffern gehen immer weiter.

Ist Wurzel zwei ein Bruch? Zur Erinnerung: Zahlen, die man als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann, heißen rationale Zahlen.

Drei Viertel ist null Komma sieben fünf. Die Dezimalzahl bricht ab.

Ein Drittel ist null Komma drei drei drei und so weiter. Die Dezimalzahl ist periodisch.

Auch ganze Zahlen sind rational, zum Beispiel minus zwei gleich minus zwei Eintel.

Bei Wurzel zwei ist das anders. Die Nachkommastellen brechen nie ab und wiederholen sich nie.

Man kann beweisen, dass sich Wurzel zwei nicht als Bruch schreiben lässt. Solche Zahlen heißen irrationale Zahlen.

Eine weitere irrationale Zahl ist zum Beispiel Wurzel drei.

Auch die Kreiszahl Pi ist irrational.

Jetzt ordnen wir alle Zahlen. Die natürlichen Zahlen N sind null, eins, zwei, drei und so weiter.

Mit den negativen Zahlen entstehen die ganzen Zahlen Z.

Nimmt man alle Brüche dazu, erhält man die rationalen Zahlen Q.

Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die reellen Zahlen R.

Jede reelle Zahl ist ein Punkt auf dem Zahlenstrahl, und jeder Punkt ist eine reelle Zahl. Es gibt keine Lücken mehr.

Fassen wir zusammen.

Rationale Zahlen lassen sich als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben.

Ihre Dezimalzahlen brechen ab oder sind periodisch.

Irrationale Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.

Beispiele sind Wurzel zwei, Wurzel drei und die Kreiszahl Pi.

Rationale und irrationale Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen.

Super! Jetzt bist du dran.