Die binomischen Formeln

Kannst du 103 mal 103 im Kopf rechnen? Mit einem kleinen Trick schaffst du das in wenigen Sekunden.

In diesem Video lernst du die drei binomischen Formeln. Mit ihnen multiplizierst du Klammern schnell aus und kannst Terme auch rückwärts zerlegen.

Wir schauen uns a plus b zum Quadrat an. Das ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge a plus b.

Wir teilen das Quadrat auf. Oben links entsteht ein Quadrat mit der Fläche a-Quadrat.

Unten rechts liegt ein kleines Quadrat mit der Fläche b-Quadrat.

Dazu kommen zwei gleich große Rechtecke, jedes mit der Fläche a mal b. Zusammen sind das zwei a b.

Alle vier Teile zusammen ergeben die ganze Fläche. Das ist die erste binomische Formel.

Ein häufiger Fehler ist, die beiden Rechtecke zu vergessen. a plus b zum Quadrat ist eben nicht nur a-Quadrat plus b-Quadrat.

Bei der zweiten binomischen Formel steht in der Klammer ein Minus. Dann wird auch das Mittelglied zwei a b abgezogen.

Das letzte Glied b-Quadrat bleibt trotzdem positiv, denn minus b mal minus b ergibt plus b-Quadrat.

Bei der dritten binomischen Formel steht einmal Plus und einmal Minus.

Beim Ausmultiplizieren entsteht a-Quadrat minus a b plus a b minus b-Quadrat.

Minus a b und plus a b heben sich auf. Darum bleibt nur a-Quadrat minus b-Quadrat.

Jetzt ein Beispiel. Wir multiplizieren drei x plus fünf zum Quadrat aus.

Das ist die erste Formel mit a gleich drei x und b gleich fünf. Wir setzen ein.

Drei x zum Quadrat ist neun x-Quadrat, denn auch die Drei wird quadriert. Zwei mal drei x mal fünf ergibt dreißig x, und fünf zum Quadrat ist 25.

Die Formeln funktionieren auch rückwärts. Dann machst du aus einer Summe wieder ein Produkt. Das nennt man faktorisieren.

Suche zuerst die Quadrate: x-Quadrat ist x mal x, und 49 ist sieben zum Quadrat. Also ist a gleich x und b gleich sieben.

Jetzt prüfst du das Mittelglied: zwei mal x mal sieben ergibt vierzehn x. Das passt. Wegen des Minus ist es die zweite Formel.

Also ist x-Quadrat minus vierzehn x plus 49 dasselbe wie x minus sieben zum Quadrat.

Auch die dritte Formel funktioniert rückwärts, zum Beispiel bei x-Quadrat minus 16.

16 ist vier zum Quadrat. Also ist x-Quadrat minus 16 gleich x plus vier mal x minus vier.

Zurück zur Frage vom Anfang. Wir schreiben 103 als 100 plus 3 und nutzen die erste binomische Formel.

Hundert zum Quadrat ist zehntausend. Zwei mal hundert mal drei ist sechshundert, und drei zum Quadrat ist neun.

Zusammen sind das zehntausendsechshundertneun. Ganz ohne Taschenrechner.

Fassen wir zusammen.

Erste und zweite Formel: a plus oder minus b zum Quadrat ist a-Quadrat plus oder minus zwei a b plus b-Quadrat.

Dritte Formel: a plus b mal a minus b ist a-Quadrat minus b-Quadrat.

Liest du die Formeln rückwärts, kannst du Summen in Produkte zerlegen.

Jetzt bist du dran!