Kathetensatz und Höhensatz
Klasse 8 · Mathematik · 3:21 Min.
Das Wichtigste
- Die Höhe h teilt die Hypotenuse in p und q. p liegt bei a, q bei b.
- Der Höhensatz lautet: h Quadrat gleich p mal q.
- Der Kathetensatz lautet: a Quadrat gleich c mal p und b Quadrat gleich c mal q.
- Zusammen mit dem Satz des Pythagoras bilden sie die Satzgruppe des Pythagoras.
- Alle drei Sätze gelten nur im rechtwinkligen Dreieck.
Alles zum Nachlesen
Du kennst nur die beiden Abschnitte der Hypotenuse. Wie lang sind dann Höhe und Katheten?
Das verraten dir Höhensatz und Kathetensatz, zwei Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras.
Zuerst die Bezeichnungen. Die längste Seite, gegenüber vom rechten Winkel, ist die Hypotenuse c.
Die beiden kürzeren Seiten a und b, die den rechten Winkel bilden, sind die Katheten.
Die Höhe h steht vom Punkt C aus senkrecht auf der Hypotenuse.
Sie teilt c in zwei Abschnitte: p liegt neben der Kathete a, q liegt neben der Kathete b.
Zusammen ergeben p und q die ganze Hypotenuse.
Die Höhe zerlegt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke.
Im rechten Dreieck gilt nach Pythagoras: a Quadrat gleich h Quadrat plus p Quadrat.
Im linken Dreieck: b Quadrat gleich h Quadrat plus q Quadrat.
Und im ganzen Dreieck ist c gleich p plus q. Also ist c Quadrat gleich p plus q, in Klammern, zum Quadrat.
Jetzt setzen wir das in a Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat ein.
Links steht zweimal h Quadrat, dazu p Quadrat und q Quadrat. Rechts steht p plus q zum Quadrat.
Die Klammer lösen wir mit der ersten binomischen Formel auf.
p Quadrat und q Quadrat stehen auf beiden Seiten. Sie fallen weg, und es bleibt zwei h Quadrat gleich zwei p q.
Wir teilen durch zwei und erhalten den Höhensatz: h Quadrat ist gleich p mal q.
Für den Kathetensatz starten wir wieder im rechten Dreieck: a Quadrat gleich h Quadrat plus p Quadrat.
Für h Quadrat setzen wir nach dem Höhensatz p mal q ein.
Dann klammern wir p aus.
In der Klammer steht q plus p, also die ganze Hypotenuse c.
Das ist der Kathetensatz: a Quadrat gleich c mal p. Genauso gilt für die andere Seite: b Quadrat gleich c mal q.
Ein Beispiel: p ist vier Zentimeter, q ist neun Zentimeter lang. Mit dem Höhensatz ist h Quadrat gleich vier mal neun.
Das ist sechsunddreißig.
Die Höhe ist also sechs Zentimeter lang.
Die Hypotenuse ist vier plus neun, also dreizehn Zentimeter. Mit dem Kathetensatz ist a Quadrat gleich dreizehn mal vier, also zweiundfünfzig.
Die Wurzel aus zweiundfünfzig ist ungefähr sieben Komma zwei. Die Kathete a ist also etwa sieben Komma zwei Zentimeter lang.
Fassen wir zusammen.
Die Höhe h teilt die Hypotenuse in p und q. p liegt bei a, q bei b.
Der Höhensatz lautet: h Quadrat gleich p mal q.
Der Kathetensatz lautet: a Quadrat gleich c mal p und b Quadrat gleich c mal q.
Zusammen mit dem Satz des Pythagoras bilden sie die Satzgruppe des Pythagoras.
Alle drei Sätze gelten nur im rechtwinkligen Dreieck.
Super! Jetzt bist du dran.
