Der Satz des Pythagoras
Klasse 9 · Mathematik · 3:26 Min.
Das Wichtigste
- Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
- Die Katheten bilden den rechten Winkel, die Hypotenuse liegt ihm gegenüber und ist die längste Seite.
- Die Quadrate über den Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.
- Für die Hypotenuse addierst du die Quadrate und ziehst dann die Wurzel.
- Für eine Kathete subtrahierst du und ziehst dann die Wurzel.
Alles zum Nachlesen
Eine Leiter lehnt an einer Wand. Wie lang muss sie sein, damit sie genau bis zum Fenster reicht?
In diesem Video lernst du den Satz des Pythagoras. Mit ihm berechnest du eine fehlende Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.
Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, also für Dreiecke mit einem Winkel von genau 90 Grad.
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Wir nennen sie a und b.
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse, hier c. Sie ist immer die längste Seite im Dreieck.
Über jede Kathete zeichnen wir ein Quadrat. Ihre Flächen heißen a-Quadrat und b-Quadrat.
Auch über die Hypotenuse zeichnen wir ein Quadrat. Seine Fläche ist c-Quadrat.
Der Satz des Pythagoras sagt: Die beiden kleinen Quadrate haben zusammen genau so viel Fläche wie das große Quadrat.
Prüfen wir das mit den Seitenlängen 3, 4 und 5. Neun plus sechzehn ergibt fünfundzwanzig, und das ist genau fünf zum Quadrat.
Jetzt rechnen wir. Die Katheten sind 6 und 8 Zentimeter lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Wir setzen die beiden Werte in die Formel ein.
Sechs zum Quadrat ist 36, acht zum Quadrat ist 64. Zusammen sind das 100.
Gesucht ist aber c und nicht c-Quadrat. Deshalb ziehen wir die Wurzel: Die Wurzel aus 100 ist 10, also ist die Hypotenuse 10 Zentimeter lang.
Manchmal fehlt eine Kathete. Hier ist die Hypotenuse 13 Zentimeter lang und eine Kathete 5 Zentimeter.
Wir stellen die Formel um. Das große Quadrat ist die ganze Fläche, also ziehen wir das bekannte kleine Quadrat davon ab.
Das ergibt 169 minus 25, also 144.
Die Wurzel aus 144 ist 12. Die fehlende Kathete ist 12 Zentimeter lang.
Merke dir: Für die Hypotenuse wird addiert, für eine Kathete subtrahiert. Und weil die Hypotenuse immer die längste Seite ist, kannst du dein Ergebnis damit prüfen.
Zurück zur Leiter. Das Fenster ist 4 Meter hoch, und der Fuß der Leiter steht 3 Meter von der Wand entfernt.
Wand und Boden bilden einen rechten Winkel. Die Leiter liegt ihm gegenüber, sie ist also die Hypotenuse.
Drei zum Quadrat plus vier zum Quadrat ist 25. Die Wurzel daraus ist 5.
Die Leiter muss also 5 Meter lang sein.
Fassen wir zusammen.
Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite.
Die Quadrate über den Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.
Für die Hypotenuse addierst du die Quadrate, für eine Kathete subtrahierst du. Am Ende ziehst du die Wurzel.
Jetzt bist du dran!
