Lineare Gleichungssysteme: das Einsetzungsverfahren

Im Hofladen kosten drei Gläser Honig und zwei Brote zusammen 22 Euro. Ein Glas Honig ist 4 Euro teurer als ein Brot. Was kostet ein Brot?

In diesem Video lernst du, wie du solche Fragen mit einem linearen Gleichungssystem und dem Einsetzungsverfahren löst.

Zuerst geben wir den Unbekannten Namen. x ist der Preis für ein Glas Honig, y der Preis für ein Brot, beide in Euro.

Drei Gläser und zwei Brote kosten zusammen 22 Euro. Daraus wird die erste Gleichung.

Ein Glas Honig kostet 4 Euro mehr als ein Brot. Das ist die zweite Gleichung.

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, die gleichzeitig gelten sollen, nennt man ein lineares Gleichungssystem.

Beim Einsetzungsverfahren gehst du in vier Schritten vor. Zuerst löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf.

Dann setzt du diesen Term in die andere Gleichung ein. So verschwindet eine Variable, und es bleibt nur noch eine Unbekannte übrig.

Diese Gleichung mit nur einer Unbekannten kannst du ganz normal lösen.

Zum Schluss berechnest du die zweite Variable und machst die Probe.

Gleichung zwei ist schon nach x aufgelöst. Wir ersetzen in Gleichung eins das x durch y plus vier. Die Klammer ist dabei wichtig.

Wir lösen die Klammer auf: Drei mal y ist drei y, drei mal vier ist zwölf.

Drei y plus zwei y ergibt fünf y. Jetzt steht nur noch y in der Gleichung.

Wir rechnen auf beiden Seiten minus zwölf. Dann bleibt fünf y gleich zehn.

Und wir teilen durch fünf. Ein Brot kostet also 2 Euro.

Nun setzen wir y gleich zwei in Gleichung zwei ein. x ist zwei plus vier, also sechs.

Die Lösung schreibt man als Zahlenpaar: zuerst x, dann y.

Jetzt die Probe in Gleichung eins: Drei mal sechs plus zwei mal zwei ist 18 plus 4, also 22. Stimmt.

Und in Gleichung zwei: Sechs ist gleich zwei plus vier. Auch das stimmt.

Die Antwort lautet also: Ein Brot kostet 2 Euro, ein Glas Honig kostet 6 Euro.

Jede der beiden Gleichungen lässt sich als Gerade zeichnen. Dazu stellen wir Gleichung eins nach y um.

Gleichung zwei wird zu y gleich x minus vier.

Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt sechs, zwei. Nur dieser Punkt liegt auf beiden Geraden.

Darum gilt: Die Lösung des Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Sind die Geraden parallel, gibt es keinen Schnittpunkt und damit auch keine Lösung.

Fassen wir zusammen.

Lege zuerst fest, wofür x und y stehen, und stelle zwei Gleichungen auf.

Löse dann eine Gleichung nach einer Variablen auf.

Setze diesen Term in die andere Gleichung ein und löse sie.

Berechne die zweite Variable und mache die Probe in beiden Gleichungen.

Im Koordinatensystem ist die Lösung der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Jetzt bist du dran!