Kurvendiskussion

Wo hat dieser Graph Hoch- und Tiefpunkte, und wo schneidet er die x-Achse?

Das klärt die Kurvendiskussion. Unser Beispiel: f von x gleich x hoch drei minus drei x.

Der Fahrplan: Zuerst bildest du die Ableitungen.

Dann suchst du die Nullstellen.

Danach kommen die Hoch- und Tiefpunkte.

Zum Schluss die Wendepunkte.

Wir starten mit den Ableitungen. Die erste ist drei x Quadrat minus drei.

Die zweite Ableitung ist sechs x, die dritte ist sechs.

Nullstellen: Wir setzen f von x gleich null und klammern x aus.

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Also ist x eins gleich null.

Oder die Klammer ist null: x Quadrat gleich drei, also plus minus Wurzel drei, rund eins Komma sieben drei.

Der Graph schneidet die x-Achse also dreimal.

An Hoch- und Tiefpunkten ist der Graph waagerecht. Deshalb setzen wir f Strich gleich null.

Das gilt für x gleich eins und minus eins.

Die zweite Ableitung zeigt die Krümmung. Bei eins ist sie sechs, also positiv: ein Tiefpunkt.

Bei minus eins ist sie minus sechs, also negativ: ein Hochpunkt.

Die y-Werte bekommst du durch Einsetzen in f.

Am Wendepunkt ändert sich die Krümmung. Also setzen wir f zwei Strich gleich null: sechs x gleich null.

Also ist x gleich null.

Die dritte Ableitung ist dort sechs, also nicht null. Es ist ein Wendepunkt.

Er liegt im Ursprung. Hier wechselt der Graph von einer Rechts- in eine Linkskurve.

Fassen wir zusammen: Bilde zuerst alle Ableitungen.

Nullstellen findest du mit f von x gleich null.

Extremstellen mit f Strich gleich null, f zwei Strich prüft die Art.

Wendestellen mit f zwei Strich gleich null, f drei Strich ist dort nicht null.

Die y-Werte bekommst du durch Einsetzen in f.

Super! Jetzt bist du dran.