Ableitungsregeln

Wie bestimmst du die Steigung eines Graphen an jeder Stelle, ohne zu zeichnen?

Mit der Ableitung. In diesem Video lernst du die fünf wichtigsten Ableitungsregeln.

Regel eins, die Potenzregel. Für f von x gleich x hoch n gilt:

Der Exponent wandert als Faktor nach vorn, und der neue Exponent ist um eins kleiner.

Aus x hoch fünf wird also fünf x hoch vier.

Regel zwei, die Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen.

Bei drei x hoch vier rechnest du drei mal vier x hoch drei, also zwölf x hoch drei.

Regel drei, die Summenregel: Bei einer Summe leitest du jeden Summanden einzeln ab.

Beispiel: x hoch drei plus zwei x plus sieben.

Das ergibt drei x Quadrat plus zwei. Die Sieben fällt weg, denn eine Konstante hat die Steigung null.

Regel vier, die Produktregel: f ist ein Produkt aus zwei Funktionen u und v.

Dann ist f Strich gleich u Strich mal v plus u mal v Strich.

Beispiel: x Quadrat mal Sinus von x.

u ist x Quadrat, also ist u Strich zwei x.

v ist Sinus von x. Die Ableitung von Sinus ist Kosinus.

Eingesetzt: zwei x mal Sinus x, plus x Quadrat mal Kosinus x.

Regel fünf, die Kettenregel, für verkettete Funktionen: Eine innere Funktion v steckt in einer äußeren Funktion u.

Die Ableitung ist u Strich von v von x, mal v Strich von x.

Kurz gesagt: äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Beispiel: drei x plus eins, hoch fünf. Außen steht hoch fünf, innen drei x plus eins.

Die äußere Ableitung ist fünf mal Klammer hoch vier, die innere Ableitung ist drei.

Beides multipliziert ergibt fünfzehn mal Klammer hoch vier.

Fassen wir zusammen.

Potenzregel: Exponent nach vorn, neuer Exponent eins kleiner.

Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt stehen.

Summenregel: Jeden Summanden einzeln ableiten.

Produktregel: u Strich mal v plus u mal v Strich.

Kettenregel: äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Super! Jetzt bist du dran.