Gebrochenrationale Funktionen
Klasse 11 · Mathematik · 2:42 Min.
Das Wichtigste
- Wo der Nenner null wird, hat die Funktion eine Definitionslücke.
- Ist der Zähler dort nicht null, ist es eine Polstelle mit senkrechter Asymptote.
- Lässt sich ein Faktor kürzen, ist die Lücke hebbar.
- Weitere Asymptoten findest du über die Grade von Zähler und Nenner.
- Nullstellen liegen, wo der Zähler null ist und x in D liegt.
Alles zum Nachlesen
Was passiert mit einem Graphen, wenn der Nenner null wird?
In diesem Video lernst du Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten kennen.
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch mit x im Nenner.
Zähler und Nenner sind Polynome.
Unser Beispiel: f von x gleich zwei x durch x minus zwei.
Durch null darfst du nicht teilen. Also setzt du den Nenner gleich null.
Das ergibt x gleich zwei. Hier hat f eine Definitionslücke.
Die Definitionsmenge sind also alle reellen Zahlen außer zwei.
Der Zähler ist dort vier, also nicht null. Darum ist zwei eine Polstelle.
Der Graph schmiegt sich dort an eine senkrechte Asymptote.
Sind Zähler und Nenner beide null, kann die Lücke hebbar sein.
Zerlege den Zähler mit der dritten binomischen Formel.
Kürzen ergibt x plus eins, aber nur für x ungleich eins.
Der Graph ist eine Gerade mit einem Loch bei eins, zwei.
Zurück zu f. Für große x nähert sich der Graph einer waagerechten Asymptote.
Bei gleichem Grad teilst du die Leitkoeffizienten: zwei durch eins, also y gleich zwei.
Ist der Zählergrad kleiner, ist die x-Achse die Asymptote.
Ist er um eins größer, gibt es eine schräge Asymptote, per Polynomdivision.
Nullstellen: Der Zähler zwei x ist null bei x gleich null.
Fassen wir zusammen.
Wird der Nenner null, der Zähler aber nicht, liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor.
Lässt sich ein Faktor kürzen, ist die Lücke hebbar.
Nullstellen liegen, wo der Zähler null ist und x in D liegt.
Super! Jetzt bist du dran.
